4. Comprueba las identidades de los polinomios y utilízalas para describir relaciones numéricas. Por ejemplo, la identidad del polinomio (x² + y²)² = (x² – y²)² + (2xy)² se puede utilizar para generar ternas Pitagóricas.

Con el crecimiento de la tecnología y esta enormidad llamada la Internet, el robo de la identidad se ha convertido en un problema mundial. Por eso, es muy importante mantener en privado la información valiosa, como las direcciones y los números de teléfono, tanto como sea posible mientras estás en línea. De lo contrario, podría pasar que los ladrones vengan a tu casa y se roben las identidades de tus polinomios.

Claro, tu identidad también debe estar segura, pero aquí lo más importante son las identidades de los polinomios. Una identidad polinómica no es más que una ecuación verdadera que con frecuencia se generaliza para poder aplicarla a más de una situación. Por ejemplo, (x²+ y²)² = (x² – y²)² + (2xy)² es cierto tanto para x como para y. Pero, ¿cómo podemos estar seguros de que es cierto sin comprobarlo?

Los estudiantes deben poder comprobar las identidades demostrando que un lado de la ecuación es igual al otro. Eso no requiere más que las mismas aptitudes que utilizan para organizar ecuaciones y expresiones. Pueden dejar sus aptitudes de orden y limpieza en sus casas, ya que todos sabemos que de organizados no tienen nada.

A la hora de comprobar las identidades polinómicas, los estudiantes pueden trabajar a partir de un lado de la ecuación para intentar derivar el otro, o bien pueden trabajar a partir de ambos lados para lograr lo mismo. Ambas opciones sirven a la perfección, siempre y cuando ambos lados terminen siendo iguales. El objetivo es hacer que ambos lados sean idénticos.

Asimismo, los estudiantes deben entender el uso de ciertas identidades. A veces, memorizar una identidad es más rápido que hacer el álgebra a mano. Otras veces, la identidad se aplica a un contexto en particular.

Podemos comprobar la identidad (x² + y²)² = (x² – y²)² + (2xy)² manipulando la ecuación paso por paso, demostrando nuestro trabajo a medida que progresamos. Hemos de cambiar solo un lado de la ecuación y ver si podemos cambiarla del otro lado. Así:

(x² + y²)²
= (x² + y²)(x² + y²)
= x⁴ + x²y² + y²x² + y⁴
= x⁴ + 2x²y² + y⁴
= x⁴ – 2x²y² + 4x²y² + y⁴
= (x⁴ – 2x²y² + y⁴) + 4x²y²
= (x² – y²)² + (2xy)²

Como ambos lados son iguales, podemos llamar a esta ecuación una identidad. La identidad es cierta para todos los valores de x e y. ¿Para x = 4 e y = 2? Sip. ¿Y qué tal para x = -1 e y = 398,128? Sin duda alguna.