2. Utiliza la estructura de una expresión para identificar formas de volver a escribirla. Por ejemplo, imagina la expresión x⁴ – y⁴ como (x²)² – (y²)², reconociéndola como una diferencia entre cuadrados que pueden factorizarse como (x² – y²)(x² + y²).

En Español, tenemos varias formas de decir lo mismo. Las expresiones "¡Basta!" y "¡No te lo comas!" y "¡No te comas mi sándwich!" significan lo mismo, pero es importante saber cuál se debe utilizar. Ahora bien, si alguien se está comiendo tu sándwich, es probable que cualquiera de las tres funcione.

Las matemáticas funcionan de forma muy similar. Escribir expresiones matemáticas de distintas formas es de suma importancia, en especial en álgebra. No se trata de redundancia sino de simplicidad. Y de agarrar bien el sándwich.

Los estudiantes deben tener la habilidad de convertir las expresiones matemáticas en expresiones alternativas equivalentes por medio de la factorización. Esto es importante cuando los estudiantes quieren explicar ciertas propiedades de una expresión o la cantidad que representa dicha expresión, despejar ecuaciones con expresiones matemáticas o simplificar expresiones complejas. Es posible que al principio se rehúsen a hacerlo, pero, si les dices que aparecerá en la prueba al finalizar el capítulo, es muy probable que les despierte mucho interés.

La factorización es la conversión de una expresión matemática en una forma equivalente que consiste en un único término compuesto por nada más y nada menos que términos multiplicados entre sí denominados factores. Básicamente, es lo opuesto de la propiedad distributiva. Los estudiantes deben recordar que la propiedad distributiva es así:

a(b + c) = ab + ac 

Observa que la a se ha distribuido a los dos términos dentro de los paréntesis. Asimismo, cabe señalar que tomamos una expresión con un término y la transformamos en una equivalente con más de un término: ampliamos la expresión.

La factorización es el proceso opuesto; por lo tanto, se puede describir de esta forma:

ab + ac = a(b + c)

Convertimos una expresión de dos términos en una expresión de un término que consiste solo de factores; es decir, a y (b + c). Repetimos el proceso con los factores que pueden factorizarse aún más. Una vez que hayamos factorizado todo lo que se puede factorizar, se dice que la expresión ha sido factorizada por completo. ¡Quién iba a pensarlo!

El factor que sacamos del paréntesis (en nuestro caso anterior, a) se denomina el máximo común divisor o MCD si es el mayor factor que es común a todos los términos. El MCD puede ser un número, una variable, una expresión de términos múltiples o una combinación de todo esto.

La técnica del MCD es lo primero que hay que revisar al enfrentarse con un problema de factorización. Esto suele simplificar los pasos de factorización siguientes. Tener una buena capacidad para la multiplicación y la división es fundamental para ser eficiente en la determinación del MCD; por consiguiente, puede ser útil repasar las reglas de divisibilidad con tus alumnos. (Todo número par es divisible por 2, si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número en sí es divisible por 3, etc.).

La factorización por agrupación es una variante de la técnica del MCD. En este caso, tenemos que agrupar ciertos términos y luego tratar a cada grupo como un problema de MCD. Seguimos con ese proceso hasta que ya no sea posible.

Por ejemplo, podemos factorizar la expresión 8x² – 4x – 40x + 20 por un factor numérico común de 4. Sin embargo, no hay un factor variable común. Podemos factorizarlo de esta manera: 4(2x² – x – 10x + 5). ¿Y qué pasa con el desorden que queda dentro del paréntesis?

Si reunimos los dos primeros términos en un grupo, podemos ver que tienen un factor común de x; en consecuencia, se pueden escribir de esta manera: x(2x – 1). Los últimos dos términos tienen un factor común de -5. Se pueden escribir así: -5(2x – 1). Si juntamos todo esto, nos queda lo siguiente:

4[x(2x – 1) – 5(2x – 1)]

Nuestra expresión de cuatro términos ahora tiene solo dos. Sin embargo, estos dos términos tienen un factor común de (2x – 1); por lo tanto, podemos seguir factorizando:

4(2x – 1)(x – 5)

Esta es la forma factorizada hasta el final.

Si bien las factorizaciones de MCD son importantes, los estudiantes deben saber cómo factorizar expresiones de grado superior. Sí, estamos hablando de los exponentes.

Los estudiantes deben saber que las expresiones de segundo grado se llaman expresiones cuadráticas y que se pueden escribir así: ax2 + bx + c, en la que a, b, y c son números y a ≠ 0. (Pide a tus alumnos que te expliquen por qué es necesaria esa restricción.)

La factorización de cuadráticas es un poquito más difícil, de modo que vale la pena examinar el proceso de factorización a la inversa. Analiza la expresión (2x – 5)(3x + 2). Está claro que esta es una forma factorizada de una expresión cuadrática. Si utilizáramos la propiedad distributiva para ampliar la expresión, nos quedaría:

(2x – 5)(3x + 2)

2x(3x + 2) – 5(3x + 2)

6x2 + 4x – 15x – 10

6x2 – 11x – 10

La última es la expresión cuadrática escrita de forma convencional. Podemos identificar a = 6, b = -11, y c = -10.

Ten en cuenta que hacer este proceso distributivo a la inversa sería como tomar la cuadrática de forma convencional, dividir el término del medio en dos partes y luego utilizar la técnica de agrupación. Pero, ¿cómo te darías cuenta de que hay que dividir el término del medio así? Hay muchas formas de escribir -11 como la suma de dos números, pero solo una de esas formas nos dará lo que necesitamos.

¿Cómo sabríamos que hay que elegir +4 y -15? Fíjate que el producto de +4 y -15 es -60. Este también es el producto del primero y el último coeficiente de la forma convencional, a y c: (6)(-10) = -60. Por consiguiente, se podría suponer que multiplicamos a y c, luego hallamos dos números que se multiplican para obtener ese número pero se suman para dar como resultado b. Al estudiar varios ejemplos descubrirás que esto es correcto. Siempre es así. Entonces, los pasos de la técnica general para la factorización de cuadráticas que se pueden factorizar son los siguientes:

1. Escribe la cuadrática en forma convencional.
2. Multiplica a y c entre sí.
3. Busca dos números que al multiplicarse den como resultado el número del paso 2, pero suma para que dé como resultado b. ¡Ten cuidado con los signos!
4. Vuelve a escribir la cuadrática, pero esta vez reemplaza el término del medio por dos términos utilizando los dos números del paso 3.
5. Utiliza la técnica de agrupación para factorizar la expresión.

Los estudiantes deben saber que esta técnica general funciona para todas las cuadráticas factorizables, pero hay algunos casos especiales que hay que tener en cuenta. Por ejemplo, la diferencia entre dos cuadrados x² – y² se puede factorizar como (x – y)(x + y). También, el trinomio perfecto x2 + 2ax + a2 se puede factorizar hasta equivaler a (x + a)². Estos dos funcionan aún cuando x, y, y a son cantidades compuestas por términos múltiples. ¿No es estupendo?

En general, los alumnos deben seguir estas reglas:

1. Determina si hay un máximo común divisor en la expresión. Por lo general, vale la pena factorizarlo primero, ya que da como resultado una expresión más simple en la que te podrás concentrar en los pasos siguientes.
2. Determina si es posible utilizar la técnica de agrupación.
3. Si la expresión es cuadrática, exprésala primero en la forma convencional.
4. Examina la forma de la expresión y determina si aplica una de las formas especiales: la diferencia entre dos cuadrados o el trinomio cuadrado perfecto. De ser así, aplica las reglas que mencionamos antes para representar la forma factorizada.
5. Si la cuadrática no es una forma especial, utiliza el método general para factorizar cuadráticas.

La factorización requiere mucha práctica, pero quizá sea la habilidad de mayor importancia que los estudiantes deben desarrollar en matemáticas. Es esencial para casi cualquier tema en los niveles más altos de matemática; en consecuencia, vale la pena invertir una buena cantidad de tiempo en el desarrollo de esta aptitud. Una vez que los alumnos a empiecen a entenderla, muchos de ellos podrán "ver" los factores. Anímalos a que siempre estén buscando patrones, a prestar atención a las partes individuales de las expresiones que les presentan y cómo las mismas parecen relacionarse con las partes de la expresión original.