a. Factoriza una expresión cuadrática para averiguar los ceros de la función que define.

Los estudiantes ya deben sentirse cómodos hallando los ceros de las funciones. Es decir, encontrando los valores de x que hacen que la expresión matemática equivalga a 0. Para expresiones lineales como 5x – 10, hallar los ceros es, en términos relativos, fácil. Lo único que tenemos que hacer es establecer la equivalencia de la expresión en 0 y luego despejar la x. En este caso, x = 2. Más que obvio.

Pero, ¿qué pasa con las expresiones cuadráticas que no son tan sencillas? La forma más directa de averiguar la raíz de las expresiones de mayor grado es factorizándolas. De hecho, podemos demostrarlo utilizando nuestra expresión lineal. Recuerda que hicimos que nuestra expresión lineal equivaliera a 0 para hallar su raíz. En términos matemáticos, teníamos 5x – 10 = 0. Casi seguro que tus alumnos agregaron 10 a ambos lados y luego dividieron por 5, pero probemos con la factorización.

Podemos factorizar la expresión identificando al 5 (el coeficiente de x) como el MCD. Esto nos daría la forma factorizada 5(x – 2) = 0. Convertimos nuestra expresión de dos términos en una expresión de un término con dos factores, 5 y (x – 2). Sin embargo, el producto de dichos factores es cero. Según la propiedad del producto cero en la multiplicación, al menos uno de los factores tiene que ser cero. Ahora bien, es obvio que 5 nunca puede ser 0. Por lo tanto, x – 2 debe ser igual a cero. Si resolvemos la ecuación x – 2 = 0, nos da x = 2, que es la misma respuesta que obtuvimos antes.

Entonces, ¿cómo funciona esto con una cuadrática? Para hallar los ceros de una ecuación cuadrática, lo mejor es intentar factorizarla. Podemos tomar una expresión como 6x² – 11x – 10 y convertirla en (2x – 5)(3x + 2). Para hallar los ceros de la expresión, hacemos que esta forma factorizada equivalga a cero y luego le aplicamos la propiedad del producto cero en la multiplicación.

En este caso, ambos factores contienen expresiones variables; por consiguiente, tenemos que considerar que uno de los factores puede equivaler a cero, o bien ambos pueden equivaler a cero al mismo tiempo. Un error frecuente de los estudiantes es establecer una equivalencia de cero para la variable, ¡pero eso no es correcto! Debemos hacer que cada factor equivalga a cero.

Por lo tanto, debemos resolver dos ecuaciones de primer grado: 2x – 5 = 0 y 3x + 2 = 0. La primera da . La segunda da . Debe haber dos raíces, puesto que esta es una expresión de segundo grado y estas son las dos raíces que estamos buscando. La ecuación y = 6x² – 11x – 10 tiene dos intersecciones con el eje x. La representación gráfica de dicha ecuación es la siguiente:

Cruza el eje x dos veces y en los lugares que calculamos. Esta curva se denomina parábola. Todas las expresiones cuadráticas de este tipo tienen la misma forma básica.

A veces, las cuadráticas tienen un solo punto de intersección y otras veces no tienen ninguna raíz verdadera. Esto solo significa que la función no cruza el eje x o bien que cruza el eje x una sola vez (en el valor mínimo o máximo). Asegúrate de que no les dé un ataque de pánico a tus alumnos cuando eso suceda.