1. Proporciona un argumento informal para las fórmulas de la circunferencia de un círculo, el área de un círculo, el volumen de un cilindro, pirámide y cono. Utiliza argumentos de disección, el principio de Cavalieri y argumentos informales sobre límites.

¿Qué es el amor? (Baby, don't hurt me). Es una pregunta que ha obsesionado a la humanidad por cientos de años. Los científicos, artistas y filósofos han tratado de hallar la respuesta, así que quizá sea hora de que los matemáticos hagan su intento.

Al igual que la geometría, el amor abarca todas las dimensiones. Al igual que un círculo, continúa hasta el infinito. Al igual que el volumen, llena hasta el borde de felicidad. Así que, naturalmente, si tus alumnos desean entender al amor, tienen que entender las distintas dimensiones en lo que respecta a los círculos. (Está bien, reconocemos que la última es una pequeña exageración).

La primera dimensión de los círculos incluye radio, diámetro y circunferencia. Los estudiantes deben ver la circunferencia de un círculo como un tipo especial de perímetro. Los estudiantes también deben entender que la proporción de la circunferencia al diámetro siempre es igual al número más irracional: π.

Si necesitan ayuda para visualizarlo, deben cortar un hilo de la longitud de la circunferencia y compararlo con la medida del diámetro. La proporción de la circunferencia al diámetro debería ser igual a π (alrededor de 3.14). De ahí viene la fórmula  C = πd = 2πr.

Para la segunda dimensión, pídete una pizza. Jamón, queso, verduras, lo que se te ocurra. Decimos que cuanto más desordenada se ve, mejor es. Si cortamos la pizza en 8 porciones y las colocamos una al lado de la otra en una hilera con una porción hacia arriba, una hacia abajo y así sucesivamente, podremos crear algo que se parezca más o menos a un paralelogramo con bultos. Tiene una apariencia un tanto rara pero no es menos deliciosa.

Si cortáramos la pizza en porciones diminutas, estas "ondas" en la parte superior e inferior de estos "paralelogramos" esencialmente desaparecerían. La base del paralelogramo sería la mitad de la circunferencia del círculo (πr) y la altura sería r. Si reemplazamos estos valores en el área del paralelogramo A = bh, terminaríamos con el área de un círculo: A = πr².

Creíste que la pizza auténtica italiana satisfaría tu apetito, pero solo te dio más hambre. ¿Qué te parece un viaje a Italia con todo pago? (También nosotros vamos).

Para examinar el volumen, podemos recurrir a la Torre Inclinada de Pisa para que nos ayude. Si construyéramos la Torre Derecha de Pisa (con la misma exacta altura que la original), ambas torres tendrían el mismo volumen. Eso es porque todas las secciones transversales de ambas torres serán idénticas a cualquier altura.

Los estudiantes entenderán este concepto como el principio de Cavalieri y podrán extenderlo a otras figuras sólidas. (No, este concepto no se aplica solamente a la Torre de Pisa). También ayudaría si los estudiantes supieran las fórmulas de volumen para prismas, cilindros, conos, pirámides y esferas.

Quizá el amor tenga sus raíces en Italia. Después de todo, Romeo y Julieta eran de Italia, el italiano es el idioma más romántico de todos los idiomas románticos y acabamos de explicar las tres dimensiones de geometría utilizando pizza y Pisa. Y ahora que nos damos cuenta, los italianos explicaron el amor con dos palabras simples: eso es amore.

Un video ejemplo para ayudar a los estudiantes con el tema de la superficie del área.