5. Comprueba que, a partir de un sistema de dos ecuaciones en dos variables, reemplazar una de las ecuaciones por la suma de dicha ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.

Los estudiantes deben entender que la manipulación de sistemas de ecuaciones llevará a las soluciones de dichas ecuaciones. Supongamos que tenemos dos funciones que estamos tratando de resolver al mismo tiempo. Llamaremos a nuestras funciones f(x, y) y g(x, y), porque son funky y groovy. Sí, nuestras funciones vienen directo de los años 70.

Por ejemplo, supongamos que f(x, y) es 2x + 4 = 3y y g(x, y) es -x + 8y = 2. Podemos reescribirlas de esta forma: 2x – 3y + 4 = 0 y x  – 8y+ 2 = 0, en cuyo caso f(x, y) = 2x – 3y + 4 y g(x, y) = x – 8y + 2. Ahora tenemos nuestras maravillosas funciones (¿o funkciones?)

Si una solución para ambas f(x, y) = 0 y g(x, y) = 0 es cuando x = a e y = b, entonces f(a, b) = 0 y g(a, b) = 0. Eso significa que a y b también deben ser los valores x e y del sistema de ecuaciones f(x, y)+ g(x, y) = 0 y nf(x, y) = 0, en la que n es una constante. Después de todo, f(a, b) + g(a, b) = 0 + 0 = 0, y nf(a, b) = n(0) = 0.

En otras palabras, esto significa que el sistema de ecuaciones f(x, y) = 0 y g(x, y) = 0 tendrá las mismas soluciones que f(x, y) + g(x, y)= 0 y nf(x, y) = 0.

Los estudiantes deben saber que esto es útil al resolver un sistema de ecuaciones (es decir, 2 o más) porque significa que podemos multiplicar ecuaciones por constantes y sumarlas todo lo que se nos dé la gana. Eso nos ayudará a hallar los valores de x e y que funcionan para todas las ecuaciones del sistema. 

Te recomendamos que asocies esta información de nuevo con la representación gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas. Explícales que la solución del sistema de ecuaciones, en realidad, es el punto (o puntos) donde se cruzan las funciones. Por ejemplo, f(x, y) y g(x, y) se cruzan en (a, b) dado que esos son los valores x e y que hacen que las dos ecuaciones sean equivalentes. Todo está conectado, como todos estamos conectados. Qué hippies, ¿no?