6. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con precisión y de manera aproximada (p. ej., con gráficas), concentrándote en pares de ecuaciones lineales en dos variables.

Los estudiantes ya deben saber que una ecuación lineal dada por y = mx+ b (o una variante de la misma) produce una recta en la gráfica. También deben saber que un sistema de ecuaciones lineales significa que tenemos más de una ecuación y = mx+ b. Hasta ahora, todo bien.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar el punto en el cual dos (¿o más?) rectas se cruzan. Esto sucede cuando el mismo grupo de valores de x e y satisfacen todas las ecuaciones lineales del sistema.

¿Qué sucede con las rectas que nunca se cruzan? Bueno, para empezar, son paralelas. Pero eso significa que el sistema de rectas paralelas no tendrá solución. (Quizá sea útil decirles a tus alumnos que "no tiene solución" es una respuesta legítima, pero solo después de que hayan hecho el trabajo necesario para comprobarlo. De lo contrario te dirán "no tiene solución" como respuesta a todos los problemas de la tarea.)

Les debes enseñar a tus alumnos que un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver a través de gráficas o de manera directa con álgebra, pero que ambos métodos producen la misma respuesta, puesto que significan lo mismo. El objetivo es hallar el punto en el cual se cruzan las rectas.

Gráficas

En términos gráficos, resolver un sistema de ecuaciones lineales es fácil. Utilizando las pendientes y las intersecciones de ambas rectas con y, los estudiantes pueden representar cada una de las rectas de manera individual en una gráfica y hallar el punto de intersección. Es hermosa y simple (y simplemente hermosa), pero no siempre precisa en términos visuales. Por ejemplo, ¿cuál es la solución al siguiente sistema de ecuaciones?

¿Es en el punto (6.2, 17)? ¿O quizá (6.3, 17.5)? Es difícil de saber con exactitud. En el sentido visual es muy útil, pero un tanto menos en lo que respecta a las respuestas numéricas.

Álgebra

Es importante saber que las dos rectas anteriores tienen las siguientes ecuaciones y = 2x + 5 e y = 3x – 1.25. En el caso de las ecuaciones lineales, los estudiantes deben poder representar las rectas en un plano cartesiano, así como resolverlas con exactitud utilizando la sustitución. Cuando las líneas se cruzan, los valores x e y en ambas ecuaciones lineales son iguales. Eso significa que podemos hacer que ambas ecuaciones sean equivalentes.

Por ejemplo, podemos decir que 3x – 1.25 = 2x + 5 porque ambas coordenadas y deben ser iguales. (De hecho, eso da x = 6.25 como respuesta. Si sustituimos 6.25 por x en cualquiera de las ecuaciones, nos debería dar 17.5.)

Si a los estudiantes les cuesta entender estos conceptos, recalcarles la conexión que existe entre las gráficas visuales y los cálculos algebraicos debería consolidar su entendimiento.